拉马努金恒等式（让你领略数学家拉马努金的天才数感）
说起传奇数学家，就不得不提自学成才的印度数学家拉马努金了。他以超强的数感闻名于世！他出生于印度的一个并不富裕的婆罗门家庭。他凭着对数学的兴趣自学成才，提出了很多奇妙的全新的数学公式，并在伯乐哈代的帮助下来到剑桥大学做研究，并最终成为了皇家学会会员。
有一则趣闻或许可以让我们认识到拉马努金的惊人数感：在拉马努金生病时，他的伯乐兼合作伙伴哈代曾去探望他，哈代对拉马努金说：“我刚才座的出租车的车牌号是1729，感觉这个数字很无趣，希望这不是不祥之兆！”拉马努金却回答：“1729是一个很有趣的数！它是可以用两个数的立方的和表示的最小的数！”
图1
下面我们以拉马努金研究过的一个数学问题为例子来感受一下拉马努金的惊人的数学能力：
让我们先来看一个例子：
图2
你能根据图2所示的内容总结出一般的规律吗？你可以先思考一下！上述内容的一般规律由拉马努金提出并证明，证明过程展现了拉马努金的惊人的数学天赋。
在写出图2问题的一般情况之前我们先学习一下累和计算符号是如何使用的，观察图3可以知道用累和符号可以把级数的和用简单的方式表达出来：
图3
我们分析图3级数和的规律可以得到如下的结论，并将其推广到累和项数等于n的情况：
图4
那么用累和表示的方法可以将图2的一般规律写为如图5的形式：
图5
拉马努金基于一个有趣的恒等式证明了图5所示的等式是成立的，这个恒等式以及验证过程如图6所示：
图6
这样我们可以对图5等式左边做如下变形：
图7
观察图7最后一行的式子，我们思考如图8的规律 ：
图8
经过思考，我们可以得到图8更一般的情况，如图9所示：
图9
根据图9第3行的等式，我们得到了一个重要的结论，如图10所示：
图10
接着我们对图10的结论做如下变形，这样做的确是非常巧妙地让式子变为更容易分析的形式，如图11所示：
图11
看到如图11所示最后一行的式子的形式我们联想之前推出的图3的结论，我们把图3的结论写在下方，如图12所示：
图12
我们可以得到最终的证明，如图13所示：
图13
最后我们把整体的推导过程写一遍，这就是拉马努金证明的过程：
图14
拉马努金在数学上的感觉的确令人赞叹！可惜的是拉马努金只活了32岁。如果他能够活更久，也许会做出更多有意义的贡献！最后我们用拉马努金提出的一个等式作为结尾：
拉马努金提出的一个等式
谈谈你对拉马努金的看法吧！
